Probabilités conditionnelles
Première Spécialité mathématiques
I-02
On choisit un jour de l'année au hasard. On appelle $A$ l'événement "le jour choisi est pluvieux" et $B$ l'événement "le jour choisi est venteux". Traduisez les informations suivantes en probabilités.
  1. $\SI{40}{\%}$ des jours sont des jours de pluie ;
  2. Trois quarts des jours de pluie sont des jours de vent fort ;
  3. Parmi les jours non venteux, $\SI{20}{\%}$ sont des jours de pluie ;
  4. $\dfrac{2}{5}$ des jours sont des jours sans pluie ni vent fort.
  5. Il y eu du vent un huitième des jours de l'année.
  6. Il a fait du vent sur $\SI{10}{\%}$ des jours sans pluies.
  7. La moitié des jours sans vent sont des jours sans pluie.
  8. Lorsqu'il y a du vent il y a $\SI{45}{\%}$ de chance qu'il pleuve.
  9. Un cinquième des jours pluvieux sont des jours sans vent.
  1. $P(A)=\num{0.4}$
  2. $P_A(B)=\frac{3}{4}=\num{0.75}$
  3. $P_{\overline{B}}(A)=\num{0.2}$
  4. $P(\overline{A}\cap \overline{B})=\frac{2}{5}=\num{0.4}$
  5. $P(B)=\frac{1}{8}=\num{0.125}$
  6. $P_{\overline{A}}(B)=\num{0.1}$
  7. $P_{\overline{B}}(\overline{A})=\num{0.5}$
  8. $P_B(A)=\num{0.45}$
  9. $P_A(\overline{B})=\frac{1}{5}=\num{0.2}$
Dans une grande compétition internationale de sports électroniques, deux jeux dominent la scène : "Legends of Battle" (LoB) et "Strategic Conquest" (SC). Les participants sont soit spécialisés dans LoB, soit dans SC, et chaque joueur a un statut qui peut être soit "amateur", soit "professionnel". On choisit au hasard un joueur parmi les participants à la compétition. Nous définissons $A$ comme l'événement "le joueur est spécialiste de LoB" et $B$ comme l'événement "le joueur est professionnel".
  1. Traduisez les informations suivantes en probabilités
    • Les spécialistes de "Legends of Battle" (LoB) constituent $\SI{55}{\%}$ des joueurs ;
    • $\SI{36}{\%}$ des joueurs sont des spécialistes de LoB avec le statut professionnel ;
    • $\SI{64}{\%}$ des spécialistes de SC ont le statut professionnel.
  2. À l'aide de pourcentages, traduire par une phrase les probabilités suivantes : $P(B)=\num{0.648}$, $P(B\cap \overline{A})=\num{0.288}$ et $P_B(A)=\frac{5}{9}$.
  3. Dressez un tableau croisé des probabilités entre $A$ et $B$.
    • $P(A)=\num{0.55}$
    • $P(A\cap B)=\num{0.36}$
    • $P_{\overline{A}}(B)=\num{0.64}$
    • $P(B)=\num{0.648}$ signifie que $\SI{64.8}{\%}$ des joueurs sont professionnels.
    • $P(B\cap \overline{A})=\num{0.288}$ signifie que $\SI{28.8}{\%}$ des joueurs sont professionnels et spécialistes de SC.
    • $P_B(A)=\frac{5}{9}$ signifie que $\SI{55.6}{\%}$ des professionnels sont spécialistes de LoB.
  3. $\bold{B}$ $\bold{\overline{B}}$ Total
    $\bold{A}$ $\num{0.36}$ $\num{0.19}$ $\num{0.55}$
    $\bold{\overline{A}}$ $\num{0.288}$ $\num{0.162}$ $\num{0.45}$
    Total $\num{0.648}$ $\num{0.352}$ $1$
  1. On donne $P(A)=\num{0.2}$, $P(B)=\num{0.6}$ et $P(A\cup B)=\num{0.65}$. Calculez $P(A\cap \overline{B})$.
  2. On donne $P(\overline{A}\cup\overline{B})=\frac{5}{6}$, $P(\overline{A})=\frac{1}{2}$ et $P(\overline{B})=\frac{5}{9}$. Calculez $P(A\cap B)$.

  1. Calculons tout d'abord $P(A\cap B)$

    $$\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ \num{0.65}&=\num{0.2}+\num{0.6}-P(A\cap B)\\ P(A\cap B)&=\num{0.2}+\num{0.6}-\num{0.65}\\ P(A\cap B)&=\num{0.15} \end{align*}$$

    $A\cap B$ et $A\cap \overline{B}$ forment une partition de $A$.

    $$\begin{align*} P(A)&=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})\\ \num{0.2}&=\num{0.15}+P(A\cap \overline{B})\\ P(A\cap \overline{B})&=\num{0.2}-\num{0.15}\\ P(A\cap \overline{B})&=\num{0.05} \end{align*}$$

  2. Calculons tout d'abord $P(\overline{A}\cap\overline{B})$

    $$\begin{align*} P(\overline{A}\cup\overline{B})&=P(\overline{A})+P(\overline{B})-P(\overline{A}\cap\overline{B})\\ \frac{5}{6}&=\frac{1}{2}+\frac{5}{9}-P(\overline{A}\cap\overline{B})\\ P(\overline{A}\cap\overline{B})&=\frac{1}{2}+\frac{5}{9}-\frac{5}{6}\\ P(\overline{A}\cap\overline{B})&=\frac{2}{9} \end{align*}$$

    Calculons maintenant $P(A)$

    $$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

    Calculons maintenant $P(A\cap \overline{B})$

    $A\cap \overline{B}$ et $\overline{A}\cap \overline{B}$ forment une partition de $\overline{B}$.

    $$\begin{align*} P(\overline{B})&=P(A\cap \overline{B})+P(\overline{A}\cap \overline{B})\\ \frac{5}{9}&=P(A\cap \overline{B})+\frac{2}{9}\\ P(A\cap \overline{B})&=\frac{5}{9}-\frac{2}{9}\\ P(A\cap \overline{B})&=\frac{1}{3} \end{align*}$$

    On en déduit $P(A\cap B)$

    $$\begin{align*} P(A)&=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})\\ \frac{1}{2}&=P(A\cap B)+\frac{1}{3}\\ P(A\cap B)&=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\ P(A\cap B)&=\frac{1}{6} \end{align*}$$
$A$ et $B$ désignent deux événements d'un même univers. Les questions sont indépendantes.
  1. On donne $P(A\cup B)=\num{0.92}$, $P(A)=\num{0.6}$ et $P(B)=\num{0.52}$. Calculez $P_A(B)$.
  2. On donne $P(A)=\num{0.4}$, $P(B)=\num{0.6}$ et $P_A(B)=\num{0.5}$. Calculez $P(A\cap B)$.
  3. On donne $P(A\cap B)=\frac{1}{5}$, $P(A\cap \overline{B})=\frac{1}{4}$ et $P(\overline{B})=\frac{13}{20}$. Calculez $P_{\overline{A}}(B)$.

  1. Calculons tout d'abord $P(A\cap B)$

    $$\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ \num{0.92}&=\num{0.6}+\num{0.52}-P(A\cap B)\\ P(A\cap B)&=\num{0.6}+\num{0.52}-\num{0.92}\\ P(A\cap B)&=\num{0.2} \end{align*}$$

    Calculons maintenant $P_A(B)$

    $$\begin{align*} P_A(B)&=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\\ P_A(B)&=\frac{\num{0.2}}{\num{0.6}}\\ P_A(B)&=\frac{1}{3} \end{align*}$$
  2. $$\begin{align*} P_A(B)&=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\\ \num{0.5}&=\frac{P(A\cap B)}{\num{0.4}}\\ P(A\cap B)&=\num{0.5}\times\num{0.4}\\ P(A\cap B)&=\num{0.2} \end{align*}$$

  3. Calculons tout d'abord $P(B)$

    $$\begin{align*} P(B)&=1-P(\overline{B})\\ P(B)&=1-\frac{13}{20}\\ P(B)&=\frac{7}{20} \end{align*}$$

    Calculons maintenant $P(\overline{A}\cap B)$

    $$\begin{align*} P(B)&=P(\overline{A}\cap B)+P(A\cap B)\\ \frac{7}{20}&=P(\overline{A}\cap B)+\frac{1}{5}\\ P(\overline{A}\cap B)&=\frac{7}{20}-\frac{1}{5}\\ P(\overline{A}\cap B)&=\frac{3}{20} \end{align*}$$

    Calculons maintenant $P(A)$

    $$\begin{align*} P(A)&=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})\\ P(A)&=\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\\ P(A)&=\frac{9}{20} \end{align*}$$

    Calculons maintenant $P(\overline{A})$

    $$\begin{align*} P(\overline{A})&=1-P(A)\\ P(\overline{A})&=1-\frac{9}{20}\\ P(\overline{A})&=\frac{11}{20} \end{align*}$$

    Calculons maintenant $P_{\overline{A}}(B)$

    $$\begin{align*} P_{\overline{A}}(B)&=\frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})}\\ P_{\overline{A}}(B)&=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{11}{20}}\\ P_{\overline{A}}(B)&=\frac{3}{11} \end{align*}$$
On considère l'arbre pondéré suivant.
$\num{0.1}$ $D$ $E$ $\num{0.7}$ $F$ $B$ $\num{0.36}$ $\overline{B}$ $\num{0.12}$ $B$ $\overline{B}$ $B$ $\num{0.95}$ $\overline{B}$
Calculez $P(B)$ puis dressez l'arbre pondéré en inversant l'ordre des événements (d'abord $B$ et $\overline{B}$ puis $D$, $E$ et $F$).
  1. La probabilité de l'événement $D$ est $\num{0.1}$. $$P(D)=\num{0.1}$$
  2. La probabilité de l'événement $B$ sachant $E$ est $\num{0.12}$. $$P_E(B)=\num{0.12}$$
  3. Calculons la probabilité de $B$ sachant que $F$ est réalisé.
    $$P_F(B)=1-P_F(\overline{B})=1-\num{0.95}=\num{0.05}$$
  4. Complétons l'arbre en ajoutant les probabilités manquantes.
    $\num{0.1}$ $D$ $\num{0.2}$ $E$ $\num{0.7}$ $F$ $\num{0.64}$ $B$ $\num{0.36}$ $\overline{B}$ $\num{0.12}$ $B$ $\num{0.88}$ $\overline{B}$ $\num{0.05}$ $B$ $\num{0.95}$ $\overline{B}$
  5. Calculons la probabilité que l'événement $B$ soit réalisé en utilisant la formule des probabilités totales.
    $$\begin{align*} P(B) &= P(D)P_D(B) + P(E)P_E(B) + P(F)P_F(B)\\ P(B)&= \num{0.1}\times\num{0.64} + \num{0.2}\times\num{0.12} + \num{0.7}\times\num{0.05}\\ P(B)&= \num{0.064} + \num{0.024} + \num{0.035}\\ P(B)&= \num{0.123} \end{align*}$$
  6. Calculons la probabilité que l'événement $B$ ne soit pas réalisé de deux manières.
    $$\begin{align*} P(\overline{B}) &= 1-P(B)\\ P(\overline{B}) &= 1-\num{0.123}\\ P(\overline{B}) &= \num{0.877} \end{align*}$$ En utilisant la formule des probabilités totales:
    $$\begin{align*} P(\overline{B}) &= P(D)P_D(\overline{B}) + P(E)P_E(\overline{B}) + P(F)P_F(\overline{B})\\ P(\overline{B}) &= \num{0.1}\times\num{0.36} + \num{0.2}\times\num{0.88} + \num{0.7}\times\num{0.95}\\ P(\overline{B}) &= \num{0.036} + \num{0.176} + \num{0.665}\\ P(\overline{B}) &= \num{0.877} \end{align*}$$
Des personnes atteintes d'une maladie ont accepté de participer à un essai clinique pour tester l'efficacité de certains traitements. Deux médicaments et un placebo sont testés. Les participants sont répartis en trois groupes : un groupe de contrôle qui reçoit le placebo, et deux groupes expérimentaux qui reçoivent l'un des deux médicaments. Notons $M_i$ pour $i\in\{1,2,3\}$ l'événement "le participant a reçu le médicament $i$" sachant que nous ne connaissons pas à l'avance lequel est le placebo. Notons $A$ l'événement "le participant a vu son état s'améliorer". Voici les informations dont on dispose :
  • Le quart des participants a été traité avec le médicament 1 ;
  • $\SI{5}{\%}$ des participants ont reçu le médicament 1 sans voir leur état s'améliorer ;
  • $\SI{60}{\%}$ des participants ont vu leur état s'améliorer ;
  • La moitié des participants ayant vu leur état s'améliorer ont pris le médicament 2 ;
  • Les deux tiers des participants ayant pris le médicament 3 n'ont pas vu leur état s'améliorer.
  • La moitié des patients n'ayant pas vu leur état s'améliorer ont pris le placebo.
  1. Traduisez les informations précédentes en probabilités
  2. Calculez $P(\overline{A})$, $P(A\cap M_1)$.
  3. Calculez la probabilité qu'un participant ait pris le médicament 2 et que son état se soit amélioré.
  4. Calculez la probabilité qu'un participant ait pris le médicament 3.
  5. Un participant a vu son état s'améliorer. Calculez la probabilité qu'il ait pris le médicament 3.
  6. Quel est le numéro du placebo ?
  7. Pour déterminer l'efficacité de deux médicaments par rapport à un placebo, on compare les probabilités conditionnelles d'amélioration de l'état du patient, sachant qu'il a pris l'un des deux médicaments ou le placebo. Quel médicament semble le plus efficace ?
    • $P(M_1)=\frac{1}{4}=\num{0.25}$
    • $P(M_1\cap \overline{A})=\num{0.05}$
    • $P(A)=\num{0.6}$
    • $P_A(M_2)=\frac{1}{2}=\num{0.5}$
    • $P_{M_3}(\overline{A})=\frac{2}{3}$
    • $P_{\overline{A}}(Placebo)=\num{0.5}$
    • $P(\overline{A})=1-P(A)=0.4$
    • $$\begin{align*} P(M_1)&=P(M_1\cap A)+P(M_1\cap \overline{A})\\ \num{0.25}&=P(M_1\cap A)+\num{0.05}\\ P(M_1\cap A)&=\num{0.25}-\num{0.05}\\ P(M_1\cap A)&=\num{0.2} \end{align*}$$
  3. $$\begin{align*} P_A(M_2)&=\frac{P(M_2\cap A)}{P(A)}\\ \num{0.5}&=\frac{P(M_2\cap A)}{\num{0.6}}\\ P(M_2\cap A)&=\num{0.5}\times\num{0.6}\\ P(M_2\cap A)&=\num{0.3} \end{align*}$$

  4. Tout d'abord calculons $P(A\cap M_3)$ :

    $$\begin{align*} P(A)&=P(A\cap M_1)+P(A\cap M_2)+P(A\cap M_3)\\ \num{0.6}&=\num{0.2}+\num{0.3}+P(A\cap M_3)\\ P(A\cap M_3)&=\num{0.6}-\num{0.2}-\num{0.3}\\ P(A\cap M_3)&=\num{0.1} \end{align*}$$

    Ensuite, calculons $P(M_3)$ :

    $$\begin{align*} P(M_3)=P(A\cap M_3)+P(\overline{A}\cap M_3)\\ P(M_3)=\num{0.1}+P(M_3)\times P_{M_3}(\overline{A})\\ P(M_3)=\num{0.1}+P(M_3)\times \frac{2}{3}\\ P(M_3)=\num{0.1}+\frac{2}{3}P(M_3)\\ \frac{1}{3}P(M_3)=\num{0.1}\\ P(M_3)=\num{0.3} \end{align*}$$

  5. Calculons $P_A(M_3)$ :

    $$\begin{align*} P_A(M_3)&=\frac{P(M_3\cap A)}{P(A)}\\ P_A(M_3)&=\frac{\num{0.1}}{\num{0.6}}\\ P_A(M_3)&=\frac{1}{6} \end{align*}$$

  6. Tout d'abord calculons $P(M_2)$ :

    $M_1$, $M_2$ et $M_3$ forment une partition de l'univers

    Donc $P(M_2)=1-P(M_1)-P(M_3)=1-\num{0.25}-\num{0.3}=\num{0.45}$.

    $M_1$ $M_2$ $M_3$ Total
    $A$ $\num{0.2}$ $\num{0.3}$ $\num{0.1}$ $\num{0.6}$
    $\overline{A}$ $\num{0.05}$ $\num{0.15}$ $\num{0.2}$ $\num{0.4}$
    Total $\num{0.25}$ $\num{0.45}$ $\num{0.3}$ $1$
    $$\begin{align*} P_{\overline{A}}(M_3)&=\frac{P(M_3\cap \overline{A})}{P(\overline{A})}\\ P_{\overline{A}}(M_3)&=\frac{\num{0.2}}{\num{0.4}}\\ P_{\overline{A}}(M_3)&=\frac{1}{2} \end{align*}$$

    Donc le médicament $M_3$ est le placebo.

  7. Calculons les probabilités conditionnelles :

    $$\begin{align*} P_{M_1}(A)&=\frac{P(M_1\cap A)}{P(M_1)}\\ P_{M_1}(A)&=\frac{\num{0.2}}{\num{0.25}}\\ P_{M_1}(A)&=\num{0.8}\\ P_{M_2}(A)&=\frac{P(M_2\cap A)}{P(M_2)}\\ P_{M_2}(A)&=\frac{\num{0.3}}{\num{0.45}}\\ P_{M_2}(A)&=\frac{2}{3}\\ P_{M_3}(A)&=\frac{P(M_3\cap A)}{P(M_3)}\\ P_{M_3}(A)&=\frac{\num{0.1}}{\num{0.3}}\\ P_{M_3}(A)&=\frac{1}{3} \end{align*}$$

    Ainsi si un participant a pris le médicament $M_1$ son état s'est amélioré dans $\SI{80}{\%}$ des cas,

    s'il a pris le médicament $M_2$ sont état s'est amélioré dans environ $\SI{67}{\%}$ des cas

    et s'il a pris le médicament $M_3$ (le placebo) sont état s'est amélioré dans environ $\SI{33}{\%}$ des cas.

    Le médicament $M_1$ semble le plus efficace par rapport au placebo.